Gabriel (1972) classified all quivers of finite type, and also their indecomposable representations. Gabriel en 1972 a classé tous les carquois de type fini, ainsi que leur représentations indécomposables.
2.
He solved the problem of finding which abelian groups have a finite number of indecomposable modules. Il a résolu le problème de déterminer quels groupes abéliens avaient un nombre fini de modules indécomposables.
3.
A quiver is of finite type if it has only finitely many isomorphism classes of indecomposable representations. Un carquois est de type fini s’il a seulement un nombre fini d'isomorphisme de classes de représentations indécomposable.
4.
The indecomposable representations are in a one-to-one correspondence with the positive roots of the root system of the Dynkin diagram. Les représentations indecomposable sont dans correspondance bijective avec les racines positives du système de racines du diagramme de Dynkin.
5.
In cases where complete reducibility does not hold, one must understand how indecomposable representations can be built from irreducible representations as extensions of a quotient by a subrepresentation. Dans le cas général, il faut comprendre comment les représentations indécomposables peuvent être reconstituées à partir de représentations irréductibles, comme extensions d'un quotient par une sous-représentation.
6.
While in Princeton he classified vector bundles on an elliptic curve (extending Alexander Grothendieck's classification of vector bundles on a genus 0 curve), by showing that any vector bundle is a sum of (essentially unique) indecomposable vector bundles, and then showing that the space of indecomposable vector bundles of given degree and positive dimension can be identified with the elliptic curve. Pendant son séjour à Princeton, il classifie les fibrés vectoriels sur une courbe elliptique — une extension de la classification par Alexandre Grothendieck des fibrés sur une courbe de genre 0 : Atiyah montre que tout fibré vectoriel est somme de fibrés indécomposables, de manière essentiellement unique, puis que l’espace des fibrés de dimension positive et de degré donné s’identifie avec la courbe elliptique de base.
7.
While in Princeton he classified vector bundles on an elliptic curve (extending Alexander Grothendieck's classification of vector bundles on a genus 0 curve), by showing that any vector bundle is a sum of (essentially unique) indecomposable vector bundles, and then showing that the space of indecomposable vector bundles of given degree and positive dimension can be identified with the elliptic curve. Pendant son séjour à Princeton, il classifie les fibrés vectoriels sur une courbe elliptique — une extension de la classification par Alexandre Grothendieck des fibrés sur une courbe de genre 0 : Atiyah montre que tout fibré vectoriel est somme de fibrés indécomposables, de manière essentiellement unique, puis que l’espace des fibrés de dimension positive et de degré donné s’identifie avec la courbe elliptique de base.
